Question

已知关于x的方程：log2(x+3)-log4x2=a在区间（3，4）内有解，则实数a的取值范围是（　　）

• A．[log2

  7

  4

  ，+∞)
• B．(log2

  7

  4

  ，+∞）
• C．(log2

  7

  4

  ，1)
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：当3＜x＜4时，关于x的方程可化为 1+

3

x

-2^a=0，令f（x）=1+

3

x

-2^a，可得f（3）f（4）＜0，即（2-2^a）（

7

4

-2^a）＜0，解得

7

4

＜2^a＜2，从而求得实数a的取值范围．

解答：解：当3＜x＜4时，关于x的方程：log2(x+3)-log4x2=a 即 log2(x+3)-log2x =a，
即 log2

x+3

x

=a，即  1+

3

x

-2^a=0．
令f（x）=1+

3

x

-2^a，由log2(x+3)-log4x2=a在区间（3，4）内有解，
f（x）在区间（3，4）内连续且单调递减，可得f（3）f（4）＜0，
即（2-2^a）（

7

4

-2^a）＜0，解得

7

4

＜2^a＜2，故 log2

7

4

＜a＜1．
故选C．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．