Question

已知点集L＝{(x，y)|y＝m·n}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列P_n(a_n，b_n)在点集L中，P₁为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{a_n}为等差数列，且公差为1，n∈N^*.

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)求·OP_n＋1的最小值；

(3)设c_n＝ (n≥2)，求c₂＋c₃＋c₄＋…＋c_n的值．

Answer 1

解析：　(1)由y＝m·n，

m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，得y＝2x＋1，

即L的轨迹方程为y＝2x＋1.

∵P₁为L的轨迹与y轴的交点，

∴P₁(0,1)，则a₁＝0，b₁＝1，

∵数列{a_n}为等差数列，且公差为1，

∴a_n＝n－1(n∈N^*)，

代入y＝2x＋1，得b_n＝2n－1(n∈N^*)．

(2)∵P_n(n－1,2n－1)，∴P_n＋1(n,2n＋1)，

∴·OP_n＋1＝(n－1,2n－1)·(n,2n＋1)

＝5n²－n－1＝5－.

∵n∈N^*，

∴当n＝1时，·OP_n＋1有最小值，为3.

(3)当n≥2时，由P_n(n－1,2n－1)，

得a_n·|P_nP_n＋1|＝(n－1)，