Question

【题目】圆周上有1994个点，将它们染成若干种不同的颜色，且每种颜色的点数各不相同.今在每种颜色的点集中各取一个点，组成顶点颜色各不相同的圆内接多边形，为了要使这样的多边形个数最多，应将1994个点染成多少种不同的颜色？且每种颜色的点集各含有多少个点？

Answer 1

【答案】染成61种颜色, 各种颜色的点数依次为2，3，…，19，20，22，23，…，61，62，63，

【解析】

设1994个点可染成种颜色，且各种颜色的点数依小到大为，且满足，则可组成顶点颜色各不相同的多边形个数为.

（一）要使的值最大，则必须满足：

1. .事实上，若，因，与的值最大相矛盾.

2. 的个值中，仅有一个等于2，其余个值都等于1.为此，

（1）.事实上，若不然则必存在某一正整数使.取，，，.

而 .

故当以，分别换，时，值增大，矛盾.

（2）恰有一个.为此

（i）至多有一个.若不然，则存在正整数，.，有，同时成立.取，，有，且.易证.以，换，时，的值增大，矛盾.

（ii）若，有 .由于与为一奇一偶且，997为素数，所以只有，，得，即说明以2和495换时值增大.矛盾.所以，至少有一个成立.由（i），（ii）立得所证.

3. .由2知恰有一个，然而只能等于1不能等于2.若不然，则有.则.所以，.由于1993为素数，易求得.此与最大显然矛盾.设有某一数使得，则.若，取，则，，且.，.故.以2和换，值增大，矛盾.故.

（二）由（一）知可设各种颜色的点数依次为2，3，…，，，，…，，，（）.

有.

得.

解得.

取，有.故可将1994个点染成61种颜色，各种颜色的点数依次为2，3，…，19，20，22，23，…，61，62，63，此时所得多边形为61边形，其个数为最多.