Question

【题目】已知椭圆：（）的左，右顶点分别为，，长轴长为，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若为椭圆上异于，的任意一点，证明：直线，的斜率的乘积为定值；

（3）已知两条互相垂直的直线，都经过椭圆的右焦点，与椭圆交于，和，四点，求四边形面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）定值，证明见解析；（3）

【解析】

（1）由长轴长为4可求，再由待定系数法把点代入椭圆方程即可求椭圆的标准方程；

（2）设点，，点在椭圆上可得

代入上式化简即可.

（3）当，中有一条斜率不存在时，；

当，的斜率都存在时，设过点的两条互相垂直的直线：，直线：，联立求出与，所以代入整理成关于的式子，求式子的值域即可.

解：（1）由题意知：，

椭圆的标准方程为.

（2）由已知，，设点，则

，又在椭圆上，

即，

（定值）.

（3）当，中有一条斜率不存在时，易求得；

当，的斜率都存在时，设过点的两条互相垂直的直线：，直线：

由得

显然，，

则.

把上式中的换成得：

则四边形的面积为

令，则，且，

，

，

所以四边形的面积的取值范围是.