Question

已知各项都为正数的等比数列{

a

n

}中，a₂•a₄=4，a₁+a₂+a₃=14，则满足an•an+1•an+2＞

1

9

的最大正整数n的值为

4

．

Answer 1

分析：由等比数列的性质可得a₂•a₄=a32=4，结合a_n＞0可求q，a₁，结合等比数列的通项可求a_n，代入可求a_n•a_n-1•a_n-2，解不等式可求n的范围，进而可求满足条件的n

解答：解：由等比数列的性质可得a₂•a₄=a32=4，
∵a_n＞0
∴a₃=2
∵a₁+a₂+a₃=14，
∴a₁+a₂=12
∴

a1q2=2 a1(1+q)=12

两式相除可得

q2

1+q

=

1

6

∵q＞0
∴q=

1

2

，a₁=8
∴an=8•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-4
∵an•an+1•an+2＞

1

9

∴(

1

2

)n-4•(

1

2

)n-3•(

1

2

)n-2=(

1

2

)3n-9＞

1

9

∴（3n-9）lg

1

2

＞lg

1

9

∴3n-9＜log₂9
∴n＜3+

1

3

log29
∴n≤4
故答案为：4

点评：本题主要考查了等比数列的 性质及等比数列的性质的简单应用，对数不等式的求解，属于基础试题