Question

已知椭圆C₁：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为；抛物线C₂：y²=2px（p＞0）上一点（1，m ）到其焦点的距离为2．
（1）求椭圆C₁和抛物线C₂的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂相切，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆的短轴长为2，离心率为，求出几何量，即可得到椭圆方程；利用抛物线C₂：y²=2px（p＞0）上一点（1，m ）到其焦点的距离为2，可求抛物线C₂的方程；
（2）分类讨论，将直线与椭圆、双曲线联立，利用判别式，即可求得结论．
解答：解：（1）由2b=2，得b=1．                                  …（1分）
由，得．                        …（2分）
∴椭圆C₁的方程是．                              …（3分）
依题意有，得p=2，…（4分）
∴抛物线C₂的方程是y²=4x．…（5分）
（2）①当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=n．
由直线l与椭圆C₁相切，可得；
由直线与抛物线C₂相切得n=0．
∴此时符合题设条件的直线l不存在．…（7分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx+n   …（8分）
当直线l与椭圆C₁相切时，联立，得（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，
由，得n²=2k²+1，…（10分）
当直线l与抛物线C₂相切时，联立，得k²x²+2（kn-2）x+n²=0，
由，得kn=1，…（12分）
联立，解得或，．…（13分）
综上，直线l的方程为．…（14分）
点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．