Question

【题目】已知抛物线：，点为直线上任一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，

（1）证明，，三点的纵坐标成等差数列；

（2）已知当点坐标为时，，求此时抛物线的方程；

（3）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中点满足，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) 存在一点满足题意.

【解析】

(1)设,对求导,则可求出在,处的切线方程,再联立切线方程分析即可.
(2)根据(1)中的切线方程,代入则可得到直线的方程,再联立抛物线求弦长列式求解即可.

(3)分情况,当的纵坐标与两种情况,求出点的坐标表达式,再利用与垂直进行求解分析是否存在即可.

(1) 设,对求导有,故在处的切线方程为,即,又,故

同理在处的切线方程为,

联立切线方程有,化简得,

即的纵坐标为,因为，故,,三点的纵坐标成等差数列.
(2)同(1)有在处的切线方程为,因为,

所以,即,又切线过,则,同理,故均满足直线方程,即

故直线 ,联立 ,

则,

即,解得,故抛物线：.

(3)设,由题意得,则中点,

又直线斜率,故设 .

又的中点在直线上,且中点也在直线上,

代入得.又在抛物线上,则.

所以或.即点或

(1)当时,则,此时点满足

(2) 当时,对,此时,则.

又.,所以,不成立,

对,因为,此时直线平行于轴,又因为,

故直线与直线不垂直,与题设矛盾,故时,不存在符合题意的点.

综上所述,仅存在一点满足题意.