Question

【题目】如图,已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在Y轴的非负半轴上，点是抛物线上的一点.

（1）求抛物线C的标准方程

（2）若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线 MP,MQ的斜率分别为k1，k2,且满足,当P,Q在C上运动时，△PQS的面积是否为定值？若是，求出△PQS的面积；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值4

【解析】

（1）设出抛物线方程，将M坐标代入，计算方程，即可。（2）设出直线PQ的方程，结合得到，计算S的坐标，结合点到直线距离公式，计算所求三角形高，结合直线截抛物线所得弦长，计算PQ，计算面积，即可。

（1）设抛物线的方程为将M（-2，1）点坐标代入方程中，解得

（2）设，设直线PQ的方程为,代入抛物线方程，得到，则，结合，而

则，代入，得到所以

，解得

过P点的切线斜率为，过Q切线斜率为，则PS的方程为，QS的方程为，联解这两个方程，得到S的坐标为，故点S的直线PQ的距离为，而PQ的长度为，故面积为

，故为定值。