Question

（1）求证：对任意的正实数x，不等式

lnx

x2

≤

1

2e

都成立．
（2）求证：对任意的n∈N^*，不等式

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

总成立．

Answer 1

分析：（1）构造函数f(x)=

lnx

x2

，求导函数，确定函数的单调性与极值，即可证得结论；
（2）由（1）知：对x∈（0，+∞）均有

lnx

x2

≤

1

2e

，故

lnx

x4

=

lnx

x2

•

1

x2

≤

1

2e

•

1

x2

，由此利用放缩法及裂项法，即可证得结论．

解答：（1）证明：设函数f(x)=

lnx

x2

，则f′(x)=

1-2lnx

x3

．令f'（x）=0，得x=

e

．
当x∈(0，

e

)时，f'（x）＞0，故函数f（x）在(0，

e

]上递增；
当x∈(

e

，+∞)时，f'（x）＜0，故函数f（x）在[

e

，+∞)上递减；
所以f(x)≤f(

e

)=

ln e

( e )2

=

1

2e

，对任意的x＞0，不等式

lnx

x2

≤

1

2e

总成立．
（2）证明：由（1）知：对x∈（0，+∞）均有

lnx

x2

≤

1

2e

，故

lnx

x4

=

lnx

x2

•

1

x2

≤

1

2e

•

1

x2

．
当n=1时，结论显然成立；
当n≥2时，有：

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

=0+

ln2

22

•

1

22

+

ln3

32

•

1

32

+…+

lnn

n2

•

1

n2

≤

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜

1

2e

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)•n

)=

1

2e

(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

(n-1)

-

1

n

)=

1

2e

(

1

1

-

1

n

)＜

1

2e

．
综上可知，对任意的n∈N^*，不等式

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查构造函数，利用导函数研究函数的单调性与极值，解题的关键是构造函数、确定函数的单调性．