Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤1）．
（1）求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C-AE-D的大小为60°，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出

AC

，

BE

的坐标，计算向量的数量积，只要说明数量积与λ无关即可；
（2）分别求出平面ADE与平面ACE的一个法向量，利用二面角C-AE-D的大小为60°建立两法向量的关系式，求出λ的值即可．

解答：解：以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（a，0，0），
B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，λa），
（1）证明：∵

AC

=（-a，a，0），

BE

=（-a，-a，λa），

EA

=（a，0，-λa），

EC

=（0，a，-λa）．
∴

AC

•

BE

=（-a，a，0）•（-a，-a，λa）
=a²-a²+0•λa=0，
即对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE．
（2）

DC

=（0，a，0）为平面ADE的一个法向量．
设平面ACE的一个法向量为n=（x，y，z），
则n⊥E，n⊥E，
∴即

x-λz=0 y-λz=0

取z=1，得n=（λ，λ，1）．
∴cos60°═

|λ|

2λ2+1

?

2λ2+1

=2|λ|．
由λ∈（0，1]，解得λ=

2

2

．

点评：本题主要考查了二面角及其度量，以及空间中直线与直线之间的位置关系，属于基础题．