Question

（本小题满分12分）
已知函数在上是增函数，在上是减函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出的范围，若不存在说明理由．

Answer 1

（1）
（2）
（3）

解析试题分析: ⑴
依题意得，所以，
从而．                                ……4分
⑵，
令，得或（舍去），
因为在递减，在递增，且，
所以                                      ………8分
⑶设，
即，．
又，
令，得；令，得．
所以函数的增区间为，减区间为．
要使方程有两个相异实根，则有
，
解得．                                     ……12分
考点：本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用导数判断函数的单调性，解决有关方程的综合问题.
点评：纵观历年高考试题，利用导数讨论函数单调区间是函数考查的主要形式，是高考热点，是解答题中的必考题目，在复习中必须加强研究，进行专题训练，熟练掌握利用导数判断函数单调区间的方法，总结函数单调性应用的题型、解法，并通过加大训练强度提高解题能力.