Question

已知函数f（x）满足f(

1

x

)=x+2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及其定义域；
（Ⅱ）写出f（x）的单调区间并证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令

1

x

=t，(t≠0)，则x=

1

t

，求得f(t)=

1

t

+2(t≠0)，从而求得函数f（x）的解析式及定义域
（Ⅱ）设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，求得f（x₂）-f（x₁）＜0，可得函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减．同理可证函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．

解答：解：（Ⅰ）令

1

x

=t，(t≠0)，--------（2分）
则x=

1

t

，-------（4分）
∴f(t)=

1

t

+2(t≠0)，∴f(x)=

1

x

+2 (x≠0)．-----（6分）
（Ⅱ）函数f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）单调递减．-----（7分）
设x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），x₁＜x₂，△x=x₂-x₁＞0，-------（8分）
△y=f(x2)-f(x1)=

1

x2

+2-

1

x1

-2=

x1-x2

x1x2

=

-△x

x1x2

．--------（10分）
当x₁＜x₂＜0时，x₁x₂＞0，又△x＞0，∴△y＜0；
同理，当0＜x₁＜x₂时△y＜0，
∴函数f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）单调递减．-------（12分）

点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，函数的单调性的判断和证明，属于基础题．