Question

（2013•天津）已知函数f(x)=-

2

sin(2x+

π

4

)+6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+

π

4

）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x-2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2

2

sin（2x-

π

4

），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；
（II）根据x∈[0，

π

2

]，得-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

．再由正弦函数在区间[-

π

4

，

3π

4

]上的图象与性质，可得f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为与最小值．

解答：解：（I）∵sinxcosx=

1

2

sin2x，cos²x=

1

2

（1+cos2x）
∴f（x）=-

2

sin（2x+

π

4

）+6sinxcosx-2cos²x+1=-sin2x-cos2x+3sin2x-（1+cos2x）+1
=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x-

π

4

）
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（II）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

∴当x=0时，sin（2x-

π

4

）取得最小值-

2

2

；当x=

3π

8

时，sin（2x-

π

4

）取得最大值1
由此可得，f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为f（

3π

8

）=2

2

；最小值为f（0）=-2．

点评：本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题．