Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

(1) 对于线面垂直的证明主要是根据线面垂直的判定定理，先通过线线垂直来得到证明。(2)

试题分析：解法一：
（Ⅰ）因为 ，所以.
又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以.     2分
在底面中，因为，，
所以 ， 所以.
又因为， 所以平面.            4分

（Ⅱ）在上存在中点，使得平面，
证明如下：设的中点是， 连结，，，则，且. 由已知，所以. 又，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.           8分
（Ⅲ）设为中点，连结，

则 .又因为平面平面，
所以 平面.过作于，
连结，则，所以
所以是二面角的平面角.
设，则, .在中，由相似三角形可得：，所以.所以 ，.即二面角的余弦值为.                 14分

解法二：因为 ，所以.
又因为侧面底面，
且侧面底面，所以 底面.又因为，所以，，两两垂直.分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.设，则，，，，. 
（Ⅰ），，,
可得 ，，所以，.
又因为， 所以平面.              4分
（Ⅱ）设侧棱的中点是， 则，.
设平面的一个法向量是，则  
因为，，所以   取，则.
所以， 所以.
因为平面，所以平面.               8分
（Ⅲ）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.
由（Ⅱ）知，为平面的一个法向量.
设二面角的大小为，由图可知，为锐角，
所以.即二面角的余弦值为.    14分
点评：解决的关键是能熟练的借助于线面垂直的判定定理来证明，同时能结合二面角的平面角的概念来运用向量法或者是几何法加以证明，属于中档题。