题目内容

将一张边长为12cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则四棱锥的体积是________cm³．

$\text{[math]}$
分析：根据正视图形状，得正四棱锥底面边长为a，则它的高h= $\text{[math]}$ a，斜高h'=a．从而得到图1中正方形的中心O到一个顶点的距离为a+ $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a，结合题中数据可解得a=4 $\text{[math]}$ ，最后用锥体体积公式可算出该四棱锥的体积．
解答：∵正四棱锥的正视图是正三角形

∴正四棱锥底面边长为a，则它的高h= $\text{[math]}$ a，斜高h'=a
在图1中，△ABC是等腰三角形，△OAC是高为a的等腰三角形
∴正方形的中心O到一个顶点的距离为 $\text{[math]}$ ×12=a+ $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a，可得a=4 $\text{[math]}$
由此可得，正四棱锥的底面边长为4 $\text{[math]}$ ，高h= $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$
∴四棱锥的体积是V= $\text{[math]}$ ×（4 $\text{[math]}$ ）²×2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
点评：本题将一个正方形沿虚线裁剪，再拼成一个正四棱锥，求它的体积，着重考查了侧面展开图、四棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．