Question

已知函数，。
（1）若函数f(x)为奇函数，求a的值；
（2）若，有唯一实数解，求a的取值范围；
（3）若a=2，则是否存在实数m，n（m＜n＜0），使得函数y=f(x)的定义域和值域都为[m，n]。若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（0）=0，
∴a=1。
（2），
∴，
令，
则问题转化为方程在上有唯一解，
令，则，
∴a≥1。
（3）不存在实数m、n满足题意。
易知，
在R上是增函数，
∴f（x）在R上是增函数，
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有，
即m、n是方程f（x）=x的两个不等负根。
由，得，
令，，
因为函数在上为单调递增函数，
∴当x＜0时，，
而，∴，
∴方程在上无解，故不存在实数m、n满足题意。