Question

数列{a_n}满足：a_n+1=3a_n-3a_n²，n=1，2，3，…。
（Ⅰ）若数列{a_n}为常数列，求a₁的值；
（Ⅱ）若a₁=，求证：；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a_2n}单调递减。

Answer 1

（Ⅰ）解：因为数列为常数列，
所以，，
，
由n的任意性知，或。
（Ⅱ）证明：用数学归纳法证明，
①当n=1时，，符合上式；
②假设当n=k（k≥1）时，，
因为， 所以，即，
从而，即，
因为，
所以，当n=k+1时，成立，
由①，②知，。
（Ⅲ）证明：因为
（n≥2），
所以只要证明，
由（Ⅱ）知，，
所以只要证明，
即证明，
令，
，
所以函数f(x)在R上单调递增；
因为，
所以，，即成立，
故，所以数列单调递减。