Question

如图，四棱锥中，底面为矩形，底面,，点是棱的中点．                                                   

（Ⅰ）求证：直线；

(Ⅱ) 求直线与平面的距离；

（Ⅲ）若，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

 (1)在矩形ABCD中，AD∥BC，又

AD∥平面PBC                            

(2)如右图，以A为坐标原点，射线 AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A－xyz.设D(0，a,0)，则B (，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)．

因此＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，0，－)．

则·＝0，·＝0，所以AE⊥平面PBC.又由AD∥BC知AD∥平面PBC，

故直线 AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为||＝.  

(3)因为||＝，则D(0，，0)，C(，，0)．

设平面AEC的法向量n₁＝(x₁，y₁， z₁)，则n₁·＝0，n₁·＝0.

又＝(，，0)，＝(，0，)，故

所以y₁＝－x₁，z₁＝－x₁.可取x₁＝－，则n₁＝(－，2，)．

设平面DEC的法向量n₂＝(x₂，y₂，z₂)，则n₂·＝0，n₂·＝0，

又＝(，0,0)，＝(，－，)，故

所以x₂＝0，z₂＝y₂，可取y₂＝1，则n₂＝(0,1，)．

故cos〈n₁，n₂〉＝＝.