题目内容
【题目】如图所示的自动通风设施.该设施的下部
是等腰梯形，其中
为2米，梯形的高为1米， 
为3米，上部
是个半圆，固定点
为
的中点. 
是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和
平行.当
位于
下方和上方时，通风窗的形状均为矩形
（阴影部分均不通风）.
（1）设
与
之间的距离为
（
且
）米，试将通风窗的通风面积
（平方米）表示成关于
的函数
；
（2）当
与
之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积
取得最大值？
【答案】（1）
，（2）当
与
之间的距离为
米时，通风窗的通风面积
取得最大值.
【解析】试题分析：（1）三角形的面积与x的关系是分段函数，所以分类讨论即可．
（2）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．
试题解析：
解：（1）当
时，过
作
于
（如下图），
则
， 
， 
，
由
，得
，
∴
，
∴
；
当
时，过
作
于
，连接
（如下图），
则
， 
，
∴
，
∴
，
综上： 
；
（2）当
时， 
在
上递减，
∴
；
2°当
时， 
，
当且仅当
，即
时取“=”，
∴
，此时
，∴
的最大值为
，
答：当
与
之间的距离为
米时，通风窗的通风面积
取得最大值.
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