Question

【题目】如图，，，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且..

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）设为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由题，易证得，即可证得结论；

（Ⅱ）取BE的中点O,连接PO,易证得PO，然后以O为原点，建立直角坐标系，利用空间向量求得与平面所成角的正弦值，求得其最大值即可.

（Ⅰ）E,F分别为AB ,AC边的中点,所以

因为

又因为 ，所以平面．

（Ⅱ）取BE的中点O,连接PO,

由（1）知平面,EF平面BCFE，,

所以平面PBE平面BCFE

因为PB=BE=PE,所以PO,

又因为PO平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE

所以PO .

过O作OM//BC交CF于M,分别以OB，OM，OP所在直线为

x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.

N为线段PF上一动点设,由,

得

设平面PCF的法向量为

则 即取

设直线BN与平面PCF所成角

直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为