Question

已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)
（1）求的解析式;
（2）设，求证：当时，且，恒成立；
（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）；（2）证明过程详见解析；（3）存在实数，使得当时，有最小值３．

试题分析：本题主要考查对称区间上函数解析式、利用导数求函数最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分类讨论思想、数形结合思想，考查学生的转化能力、计算能力．第一问，把所求范围转化为已知范围代入到已知解析式，再利用奇偶性整理解析式；第二问，先将代入到和中，构造新函数，所求证的表达式转化为，对和求导判断函数单调性，求出函数最值，代入到转化的式子中验证对错即可；第三问，先假设存在最小值3，对求导，分情况讨论a，通过是否在区间内讨论a的4种情况，分别判断函数的单调性，且数形结合求出函数最值，令其等于3，解出a的值．
（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以 
故函数的解析式为         2分
（2）证明：当且时，
，设
因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以
又因为，所以当时，，此时单调递减，所以
所以当时，即           6分
（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，
则
（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，
，不满足最小值是３
（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，
，也不满足最小值是３
（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数．所以，解得（舍去）
（ⅳ）当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，此时函数是增函数．
所以，解得
综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３      12分