Question

【题目】设椭圆的离心率,左顶点到直线的距离,为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点,若以为直径的圆经过坐标原点,证明:点到直线的距离为定值；

（III）在（Ⅱ）的条件下,试求的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值为；（3）

【解析】

试题（1）根据题目条件建立a，b，c的两个方程，可求得椭圆的标准方程；（2）以AB为直径的圆经过坐标原点，等价于OA⊥OB，再转换为x1x2＋y1y2＝0，结合A、B是直线与椭圆的公共点，可得原点到直线的距离为定值；（3）结合（2），将三角形的面积表示为直线斜率的函数关系式，利用二次函数的性质可求的面积的最小值.

试题解析：（1）由e＝，得c＝a，又b2＝a2－c2，所以b＝a，即a＝2b.

由左顶点M（－a，0）到直线，即bx＋ay－ab＝0的距离d＝，

得，即，

把a＝2b代入上式，得，解得b＝1.所以a＝2b＝2，c＝.

所以椭圆C的方程为. 3分

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1＝x2，y1＝－y2.

因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故＝0，

即x1x2＋y1y2＝0，也就是，

又点A在椭圆C上，所以，

解得|x1|＝|y1|＝.

此时点O到直线AB的距离d1＝|x1|＝.

②当直线AB的斜率存在时，

设直线AB的方程为y＝kx＋m，

与椭圆方程联立有

消去y，得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0

所以

因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，所以OA⊥OB

于是＝x1x2＋y1y2＝0，

所以（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝0

所以

整理得：5m2＝4（k2＋1）

所以点O到直线AB的距离d1＝.

综上所述，点O到直线AB的距离为定值. 8分

（3）设直线OA的斜率为k0.

当k0≠0时，

则OA的方程为y＝k0x，OB的方程为，

联立得同理可求得

故△AOB的面积为S＝＝2.

令1＋＝t（t>1），

则S＝2＝2，

令g（t）＝（t>1），所以4<g（t）≤.所以≤S<1.

当k0＝0时，可求得S＝1，

故≤S≤1，故S的最小值为. 13分