Question

素材1:四棱锥A-BCDE中，AD⊥底面BCDE，AE⊥BE，AC⊥BC.

素材2:若∠CBE=90°，CE=,AD=1.

试根据上述素材构建一个问题，然后再解答.

Answer 1

构建问题（一）:在四棱锥A—BCDE中，AD⊥底面BCDE，AE⊥BE，AC⊥BC. 若∠CBE=90°,CE=,AD=1,试证明A、B、C、D、E都在以AB为直径的球面上.

证明：连结BD，∵AD⊥底面BCDE，∴AD⊥BD.

又∵AE⊥BE，AC⊥BC，∴△ABC、△ABD、△ABE均为以AB为斜边的直角三角形，从而点A、B、C、D、E都在以AB为直径的同一球面上.

构建问题（二）:在四棱锥A—BCDE中，AD⊥

底面BCDE，AE⊥BE，AC⊥BC. 若∠CBE=90°,CE=,AD=1,求B、D两点间的球面距离.

解析：取AB的中点O，则O为球心.

∵∠CBE=90°,DE为 AE在面 BCDE内的射影，AE⊥BE，

∴DE⊥BE，从而四边形BCDE为矩形.

∵CE=，∴BD=CE=.

∵AD=1，∴AB==2.

从而球半径R=1.连结OD，

在△BOD中，求得∠BOD=120°=,

∴B、D两点间的球面距离为.