Question

已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果，且曲线E上存在点C，使．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）求AB的直线方程；
（Ⅲ）求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）点P满足条件，由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，由此可得曲线E的方程；
（Ⅱ） 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程代入曲线方程，根据直线与双曲线左支交于两点A，B，利用韦达定理及，即可求得直线AB的方程；
（Ⅲ）设C（x_c，y_c），由已知，得，从而可得点C的坐标代入曲线E的方程，即可求得m的值．
解答：解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，且，∴b=1
故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）…．（4分）
（Ⅱ） 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意建立方程组消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，由解得…．（6分）
又∵===
依题意得 整理后得 28k⁴-55k²+25=0
∴或
但，∴
故直线AB的方程为…．（9分）
（Ⅲ）设C（x_c，y_c），由已知，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx_c，my_c）
∴，（m≠0）
又，
∴点，
将点C的坐标代入曲线E的方程，得得m=±4，
但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴m=4，…（13分）
点评：本题考查双曲线的定义，考查直线与曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是正确运用双曲线的定义，利用韦达定理解决弦长问题．