Question

若过点（0，0）作圆x²+y²+kx+2ky+2k²+k-1=0的切线有两条，则k的取值范围是

（-2，-1）∪（

1

2

，

2

3

）

．

Answer 1

分析：将圆化成标准方程，得（x+

k

2

）²+（y+k）²=-

3

4

k²-k+1．根据方程表示圆的条件和点与圆的位置关系，结合题意建立关于k的不等式组，解之即可得到实数k的取值范围．

解答：解：圆x²+y²+kx+2ky+2k²+k-1=0，可化为（x+

k

2

）²+（y+k）²=-

3

4

k²-k+1．
∵方程x²+y²+kx+2ky+2k²+k-1=0表示圆，
∴-

3

4

k²-k+1＞0，解之得-2＜k＜

2

3

．
又∵过点（0，0）作圆x²+y²+kx+2ky+2k²+k-1=0的切线有两条，
∴点（0，0）在圆外，可得（0+

k

2

）²+（0+k）²＞-

3

4

k²-k+1
解之得k＜-1或k＞

1

2

综上所述，可得k的取值范围是（-2，-1）∪（

1

2

，

2

3

），
故答案为：（-2，-1）∪（

1

2

，

2

3

）．

点评：本题给出经过原点可作已知圆的切线有两条，求参数k的范围．着重考查了圆的方程、点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．