Question

15．（1）设函数f（x）=$\sqrt{|{x+1}|+|{x-2}|-a}$的定义域为R，试求a的取值范围；
（2）已知实数x，y，z满足x+2y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的性质可得：|x+1|+|x-2|≥|x+1-（x-2）|=3，即可得出；
（2）利用柯西不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|-a≥0，
即|x+1|+|x-2|≥a，又|x+1|+|x-2|≥|x+1-（x-2）|=3，
∴a≤3．
（2）由柯西不等式（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²=1，
∴x²+y²+z²≥$\frac{1}{14}$，
当且仅当$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$时，即x=$\frac{1}{14}$，y=$\frac{1}{7}$，z=$\frac{3}{14}$时，
x²+y²+z²的最小值为$\frac{1}{14}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质、柯西不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．