Question

已知f（x）=（a+1）x²+3x+1，若函数f（x）在区间（0，1）上恰有一个零点，则a的取值范围为（　　）

A．a＜1

B．a＞-6

C．a＞0

D．a＜-5

Answer 1

分析：利用零点存在性定理，若函数f（x）在区间（0，1）上恰有一个零点，则f（0）f（1）＜0，就得到一个关于a的不等式，解该不等式，求出ua的范围即可．

解答：解：①当a+1=0，即a=-1时，f（x）=3x+1，令f（x）=0，得，x=-

1

3

∴函数的零点是-

1

3

，不符合条件．
②当a+1＞0时，即a＞-1时，函数f（x）是二次函数，图象为开口向上的抛物线，对称轴是x=-

3

2(a+1)

∵对称轴在y轴左侧，∴f（x）在[0，1]上为增函数，∴f（1）＞f（0），，而f（0）=1＞0，∴f（1）＞0，
∴f（x）的图象在（0，1）与x轴没有交点，∴（x）在区间（0，1）没有个零点，不符合条件．
③当a+1＜0时，即a＜-1时，函数f（x）是二次函数，图象为开口向下的抛物线，对称轴是x=-

3

2(a+1)

∵

3

2(a+1)

＜0，∴-

3

2(a+1)

＞0，
∵f（0）=1＞0，∴只需f（1）＜0即可
∴a+5＜0，a＜-5
故选D

点评：本题主要考查了零点存在性定理的应用，做题时要灵活运用定理，善于转化．