题目内容

设β为锐角，若cos（β+
π
6
）=
3
5
，则cos（2β+
π
12
）=
17
2
25
17
2
25
．
分析：由cos（β+
π
6
）=
3
5
，求得sin（β+
π
6
）=
4
5
，利用两角差的正弦、余弦公式求得cosβ和sinβ的值，可得cos2β 与sin2β的值，再由两角和的余弦公式求得cos（2β+
π
12
）的值
解答：解：∵β为锐角，若cos（β+
π
6
）=
3
5
，则β+
π
6
为锐角，∴sin（β+
π
6
）=
4
5
，
∴cosβ=cos[（β+
π
6
）-
π
6
]=cos（β+
π
6
）cos
π
6
+sin（β+
π
6
）sin
π
6
=
3
5
×
3
2
+
4
5
×
1
2
=
3
3
+4
10
，
sinβ=sin[（β+
π
6
）-
π
6
]=sin（β+
π
6
）cos
π
6
-cos（β+
π
6
）sin
π
6
=
4
5
×
3
2
-
3
5
×
1
2
=
4
3
-3
10
，
∴cos2β=2cos2β-1=
24
3
-7
50
，sin2β=2sinβcosβ=
7
3
+24
50
．
又∵sin
π
12
=
6
-
2
2
，cos
π
12
=
6
+
2
2
，
∴cos（2β+
π
12
）=cos2βcos
π
12
-sin2βsin
π
12
=
24
3
-7
50
•
6
+
2
2
-
7
3
+24
50
•
6
-
2
2
=
17
2
25
，
故答案为
17
2
25
．
点评：本题着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
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（2012•江苏）设a为锐角，若cos（a+
π
6
）=
4
5
，则sin（2a+
π
12
）的值为
17
2
50
17
2
50
．
设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为    ．
设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为    ．
设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为    ．
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