题目内容

（2012•江苏）设a为锐角，若cos（a+
π
6
）=
4
5
，则sin（2a+
π
12
）的值为
17
2
50
17
2
50
．
分析：根据a为锐角，cos（a+
π
6
）=
4
5
为正数，可得a+
π
6
也是锐角，利用平方关系可得sin（a+
π
6
）=
3
5
．接下来配角，得到cosa=
4
3
+3
10
，sina=
3
3
-4
10
，再用二倍角公式可得sin2a=
24-7
3
50
，cos2a=
7+24
3
50
，最后用两角和的正弦公式得到sin（2a+
π
12
）=sin2acos
π
12
+cosasin
π
12
=
17
2
50
．
解答：解：∵a为锐角，cos（a+
π
6
）=
4
5
，
∴a+
π
6
也是锐角，且sin（a+
π
6
）=
1-cos2(a+
π
6
)
=
3
5

∴cosa=cos[（a+
π
6
）-
π
6
]=
4
5
cos
π
6
+
3
5
sin
π
6
=
4
3
+3
10

sina=sin[（a+
π
6
）-
π
6
]=
3
5
cos
π
6
-
4
5
sin
π
6
=
3
3
-4
10

由此可得sin2a=2sinacosa=
24-7
3
50
，cos2a=cos2a-sin2a=
7+24
3
50

又∵sin
π
12
=sin（
π
3
-
π
4
）=
6
-
2
4
，cos
π
12
=cos（
π
3
-
π
4
）=
6
+
2
4

∴sin（2a+
π
12
）=sin2acos
π
12
+cosasin
π
12
=
24-7
3
50
•
6
+
2
4
+
7+24
3
50
•
6
-
2
4
=
17
2
50

故答案为：
17
2
50
点评：本题要我们在已知锐角a+
π
6
的余弦值的情况下，求2a+
π
12
的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
练习册系列答案
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11-7i1-2i
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8
8
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3
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-10
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