Question

(22)

已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

22、

解：（I）如图，

设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：

即动点到定点与定直线的距离相等。由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为。

（II）如图，设，由题意得。

又直线的倾斜角满足，故。

∴直线的斜率存在，否则，直线的倾斜角之和为。

从而设直线的方程为，

显然，将与联立，消去，

得

由韦达定理知（*）

由，

得

将（*）式代入上式整理化简，得

。

此时，直线的方程可表示为：，

即。

所以直线恒过定点。