Question

已知动点P到定直线l：x=2

2

的距离与点P到定点F(

2

，0)之比为

2

．
（1）求动点P的轨迹c的方程；
（2）若点N为轨迹C上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k₁、k₂，问k₁•k₂是否为定值？
（3）若点M为圆O：x²+y²=4上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线l于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？

Answer 1

分析：（1）设出点P，利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F的距离的比，建立方程求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．
（2）设出N，A，则B的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k₁•k₂=-

1

2

，证明原式．
（3）设M（x₀，y₀），则可表示出切线方程，与x=2

2

联立求得Q的坐标表达式，则可分别表示出

OQ

和

FM

，进而利用向量的运算法则求得

OQ

•

FM

结果为0，判断出

OQ

⊥

FM

．

解答：解：（1）设点P（x，y），依题意，有

(x- 2 )2+y2

|x-2 2 |

=

2

2

．
整理，得

x2

4

+

y2

2

=1．
所以动点P的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．

（2）由题意：设N（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
则B（-x₂，-y₂）

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1
k₁•k₂=

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=

y12-y22

x12-x22

=

2- 1 2 x12-2+ 1 2 x22

x12-x22

=-

1

2

为定值．

（3）M（x₀，y₀），则切线MQ的方程为：xx₀+yy₀=4
由

xx0+yy0=4 x=2 2

得Q(2

2

，

4-2 2 x0

y0

)

FM

=(x0-

2

，y0)，

OQ

=(2

2

，

4-2 2 x0

y0

)

FM

•

OQ

=2

2

x0-4+y0

4-2 2 x0

y0

=0
所以：

FM

⊥

OQ

即MF与OQ始终保持垂直关系

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．当涉及直线的斜率的时候，点差法是常用的方法，能把直线的斜率和曲线方程，交点坐标，交点的中点坐标等向联系．