Question

（1）若，求的最大值。
（2）为何值时，直线和曲线有两个公共点。

Answer 1

（1）；（2）点P的坐标为；
（3）当时，d取最小值。

试题分析： （1）根据已知条件，结合一正二定，三相等的思想来求解最值。
（2）联立方程组，根据得到的方程的解的个数得到结论。
（1）已知双曲线实半轴a₁=4，虚半轴b₁=2，半焦距c₁=，
∴椭圆的长半轴a₂=c₁=6，椭圆的半焦距c₂=a₁=4，椭圆的短半轴=，
∴所求的椭圆方程为                   …………4分
（2）由已知,，设点P的坐标为，则
由已知得
             …………6分
则，解之得，       
由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为……8分
（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是，
又∵点M在椭圆的长轴上，即         …………10分
∴当时，椭圆上的点到的距离
   
又  ∴当时，d取最小值         …………12分
点评：解决该试题的关键是能根据题中的条件，得到均值不等式的结构，求解最值也可以通过二次函数的性质来求解最值，同时要对于直线与双曲线的位置关系，通过联立方程组，转换为方程的解的问题来得到。