Question

已知椭圆C：( )的离心率为，点(1，)在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的两条切线交于点M(4，)，其中，切点分别是A、B，试利用结论：在椭圆上的点()处的椭圆切线方程是，证明直线AB恒过椭圆的右焦点；
（3）试探究的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由.

Answer 1

（1） ；（2）参考解析；（3）

试题分析：（1）由离心率为，点(1，)在椭圆C，根据椭圆方程的等量关系即可求出的值，即得到椭圆方程.
（2）由椭圆切线方程是，又因为切点分别为A，B.所以带入A，B两点的坐标，即可得到两条切线方程，又因为这两条切线过点M，代入点M的坐标，即可得经过A，B的直线方程，根据右焦点的坐标即可得到结论.
（3）由（2）可得直线AB的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，两点的距离公式表达出，通过运算即可得到结论.
（1）设椭圆C的方程为()
①
点(1，)在椭圆C上，②，
由①②得：
椭圆C的方程为，         4分
（2）设切点坐标，，则切线方程分别为，.
又两条切线交于点M(4，)，即，
即点A、B的坐标都适合方程，显然对任意实数，点(1，0)都适合这个方程，
故直线AB恒过椭圆的右焦点.            7分
（3）将直线的方程，代入椭圆方程，得
，即
所以，       10分
不妨设，，
同理
所以==
所以的值恒为常数.       13分