Question

已知命题P：?x∈[0，

π

2

]，cos2x+cosx-m=0的否定为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

• A．[-

  9

  8

  ，-1]
• B．[-

  9

  8

  ，-2]
• C．[-1，2]
• D．[-

  9

  8

  ，+∞)

Answer 1

分析：由命题和其非命题必定一真一假，即可判断出原命题的真假，再根据二次函数和cosx的单调性求出m的取值范围．

解答：解：因为命题P：?x∈[0，

π

2

]，cos2x+cosx-m=0的否定为假命题，
所以命题P：?x∈[0，

π

2

]，cos2x+cosx-m=0是真命题．
由cos2x+cosx-m=0，得m=cos2x+cosx=2cos²x+cosx-1=2(cosx+

1

4

)2-

9

8

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴0≤cosx≤1，
∴当cosx=0时，m取得最小值-1；
当cosx=1时，m取得最大值2．
∴m的取值范围是[-1，2]．
故选C．

点评：本题考查了命题的否定及真假，理解命题与非命题的真假关系是解决此问题的前提．