Question

设F₁、F₂分别是椭圆  

x2

4

+y²=1的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，O为坐标原点．
（1）求

PF1

• 

PF2

的取值范围；
（2）设过定点Q（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且∠MON为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可求F₁，F₂的坐标，设P（x，y），则由向量的数量积的坐标表示可求

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)结合椭圆的性质可知，-2≤x≤2，利用二次函数的性质可求•
（2）由题设条件，可设直线L：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，由△＞0可求k的范围，结合方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，然后由0°＜∠MON＜90°可知

OM

•

ON

=x1x2+y1y2＞0，代入可求k的范围

解答：解：（1）由椭圆

x2

4

+y²=1易知a=2，b=1，
∴c=

a2-b2

=

3

，所以F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x²+y²-3
=x2+1-

x2

4

=

3x2-8

4

由椭圆的性质可知，-2≤x≤2
∴-2≤

3x2-8

4

≤1
故-2≤

PF1

•

PF2

≤1（6分）
（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线L：y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则

y=kx+2 x2 4 +y2=1

消去y，整理得：(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0
由△=16k²-12（k2+

1

4

）＞0得：k＜-

3

2

或k＞

3

2

…①（9分）
又∵x1+x2=-

4k

k2+ 1 4

，x1x2=

3

k2+ 1 4

又0°＜∠MON＜90°
∴cos∠MON＞0
∴

OM

•

ON

＞0
∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2＞0（11分）
∵y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

3k2

k2+ 1 4

+

-8k2

k2+ 1 4

+4=

1-k2

k2+ 1 4

∴

3

k2+ 1 4

+

1-k2

k2+ 1 4

＞0，即k²＜4
∴-2＜k＜2…②（13分）
故由①②得-2＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜2（15分）

点评：本题主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用及向量的数量积的坐标表示，属于综合试题