Question

数列{a_n}中a₁=3，已知点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n•3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）把点（a_n，a_n+1）代入直线y=x+2中可知数列{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数，进而利用等差数列的通项公式求得答案．
（2）把（1）中求得a_n代入b_n=a_n•3ⁿ，利用错位相减法求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵点（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上．
∴数列{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（2）∵b_n=a_n•3ⁿ，
∴b_n=（2n+1）•3ⁿ∴T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ①
∴3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹②
由①-②得-2T_n=3×3+2（3²+3³++3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹
=9+2×

9(1-3n-1)

1-3

-(2n+1)•3n+1=-2n•3ⁿ⁺¹
∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．

点评：本题主要考查了等差数列的性质和通项公式．当数列由等比和等差数列构成的时候，常可用错位相减法求和．