Question

已知正数x，y满足x+y=xy，则x+2y∈

[3+2

2

，+∞）

（用区间表示）．

Answer 1

分析：由已知x＞0，y＞0，x+y=xy可得

1

x

+

1

y

=1，而x+2y=(x+2y)(

1

x

+

1

y

)=3+

x

y

+

2y

x

，利用基本不等式可求

解答：解：∵x＞0，y＞0，x+y=xy
∴

1

x

+

1

y

=1
∴x+2y=(x+2y)(

1

x

+

1

y

)=3+

x

y

+

2y

x

≥3+2

x y • 2y x

=3+2

2

当且仅当

1 x + 1 y =1 x y = 2y x

即x=

2

+1，y=1+

2

2

时取等号
∴x+2y≥3+2

2

故答案为：[3+2

2

，+∞）

点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知，x+y=xy可得

1

x

+

1

y

=1，进而所求的式子可变性为x+2y=(x+2y)(

1

x

+

1

y

)，其中的技巧就是进行“1”的代换