Question

在数列{a_n}中，a1=

3

5

，a2=

31

100

且数列{an+1-

1

10

an}是公比为

1

2

的等比数列，数列{lg(an+1-

1

2

an)}是公差为-1的等差数列，求a_n．

Answer 1

∵a1=

3

5

，a2=

31

100

∴a2-

1

10

a1=

1

4

，a2-

1

2

a1=

1

100

∵数列{an+1-

1

10

an}是公比为

1

2

的等比数列，首项为a2-

1

10

a1=

1

4

∴an+1-

1

10

an=

1

4

(

1

2

)n-1=(

1

2

)n+1…（1）…（6分）
又{lg(an+1-

1

2

an)}是公差为-1的等差数列，首项为lg(a2-

1

2

a1)=-2
∴lg(an+1-

1

2

an）=-2+（n-1）（-1）=-n-1
即an+1-

1

2

an=10^-n-1…（2）…（12分）
由（1）（2）得，an=

5

2

(

1

2n+1

-

1

10n+1

)…（14分）