Question

如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=，底面ABCD是菱形，且∠ABC=
60°，E为CD的中点．
（I）证明：CD⊥平面SAE；
（II）求侧面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值．

Answer 1

解：（I）如图，连接AC
∵在菱形ABCD中，∠ADC=60°，E是线段CD的中点
∴CD⊥AE
又∵SA=AB=2，SB=2 
∴SA²+AB²=8=SB²，可得SA⊥AB．
同理得到SA⊥AD
∵AB、AD是平面ABCD内的相交直线
∴SA⊥平面ABCD
又∵CD平面ABCD，
∴SA⊥CD
∵CD⊥AE，AE、SA是平面SAE内的相交直线
∴CD⊥平面SAE
（II）取BC的中点F，连接AF、SF
由（I）的证明过程，
类似地可得AF⊥BC且SF⊥BC
∴∠SFA为二面角S﹣BC﹣A的平面角
∵Rt△ASF中，AF= ，SA=2
∴tan∠SFA= = 
即侧面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值为 ．