Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{OM}$是共线向量．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点，F₁、F₂分别是左、右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意，求得M坐标，由k_AB=k_OM，求得b=c，a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F₁QF₂的大小为零；当点Q不与椭圆长轴的端点重合时，设∠F₁QF₂的大小为θ，在△F₁QF₂中，利用余弦定理，结合基本不等式和椭圆的定义，cos θ═$\frac{2{b}^{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$-1≥$\frac{2{b}^{2}}{（\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}）^{2}}$-1=0，得到θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，即为∠F₁QF₂的取值范围．

解答 解：（1）依题意，作图如图：
设F₁（-c，0），则x_M=-c，y_M=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴k_OM=-$\frac{{b}^{2}}{ac}$，
∵k_AB=-$\frac{b}{a}$，∵向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{OM}$共线，
∴-$\frac{{b}^{2}}{ac}$=-$\frac{b}{a}$，
∴b=c，
由a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）设|F₁Q|=r₁，|F₂Q|=r₂，∠F₁QF₂=θ，
∴r₁+r₂=2a，|F₁F₂|=2c．
由余弦定理可知：cos θ=$\frac{{r}_{1}^{2}+{r}_{2}^{2}-4{c}^{2}}{2{r}_{1}{r}_{2}}$=$\frac{（{r}_{1}+{r}_{2}）^{2}-2{r}_{1}{r}_{2}-4{c}^{2}}{2{r}_{1}{r}_{2}}$，
=$\frac{2{b}^{2}}{{r}_{1}{r}_{2}}$-1≥$\frac{2{b}^{2}}{（\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}）^{2}}$-1=$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$-1=0，
当且仅当r₁=r₂时，cos θ=0，
∴θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查向量共线定理，斜率公式，余弦定理及基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．