Question

（1）设二次函数f ( x ) = ax² + bx + c，证明 f ( x ) > 0对一切x∈R恒成立的充要条件是a > 0，且Δ= b²－4ac < 0；

（2）设a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n是不全为零的任意实数，利用（1）的结论证明：．

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：（1）． 当a >0，且△=b2－4ac < 0时，，，f ( x ) > 0恒成立； 当f ( x ) > 0恒成立时，令，得． 即a与4ac－b2同号，若a < 0，4ac－b2 <0， 则当 时，f ( x ) = 0，与f ( x ) > 0矛盾，故 a >0，4ac－b2 >0， 即 a >0，△=b2－4ac < 0． （2）由，整理得 恒成立，而 ，故 ，即．