题目内容
已知向量
=（cosx，sinx），
=（-cosx，cosx）（1）当x∈[
，
]时，求函数f（x）=2
•
+1的最大值．（2）设f（x）=2
•
+1，将函数y=f（x）的图象向右平移
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的单调递减区间．
【答案】分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式，确定角的范围，求出其最值．
（2）由题意得，g（x）=
sin（
-
），由2kπ+
≤（
-
）≤2kπ+
，k∈z，求出x的范围，即得到g（x）的单调递减区间．
解答：解：（1）函数f（x）=2
•
+1=2（-cos2x+sinxcosx）+1=2sinxcosx-（2cos2x-1 ）
=sin2x-cos 2x=
sin（2x-
）．
∵x∈[
，
]，∴
≤2x-
≤2π，∴-1≤sin（2x-
）≤
，
∴当 2x-
=
，即 x=
时，函数f（x）有最大值为 
=1．
（2）由题意得，f（x）=
sin（2x-
）的图象向右平移
个单位后得到，
y=
sin[2（x-
）-
]=
sin[2x-
]，
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到g（x）=
sin[
•2x-
]=
sin（
-
）．
由2kπ+
≤（
-
）≤2kπ+
，k∈z，4kπ+
≤x≤4kπ+
，
故g（x）的单调递减区间为（ 4kπ+
，4kπ+
），k∈z．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，三角函数的图象的变换，三角函数的最值，正弦函数的单调增区间，得到g（x）的 解析式是解题的难点．
（2）由题意得，g（x）=
sin（-），由2kπ+≤（-）≤2kπ+，k∈z，求出x的范围，即得到g（x）的单调递减区间．解答：解：（1）函数f（x）=2
•+1=2（-cos2x+sinxcosx）+1=2sinxcosx-（2cos2x-1 ） =sin2x-cos 2x=
sin（2x-）．∵x∈[
，]，∴≤2x-≤2π，∴-1≤sin（2x-）≤，∴当 2x-
=，即 x=时，函数f（x）有最大值为 =1．（2）由题意得，f（x）=
sin（2x-）的图象向右平移个单位后得到，y=
sin[2（x-）-]= sin[2x-]，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到g（x）=
sin[•2x-]= sin（-）．由2kπ+
≤（-）≤2kπ+，k∈z，4kπ+≤x≤4kπ+，故g（x）的单调递减区间为（ 4kπ+
，4kπ+ ），k∈z．点评：本题考查两个向量的数量积公式，三角函数的图象的变换，三角函数的最值，正弦函数的单调增区间，得到g（x）的 解析式是解题的难点．
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