Question

（本题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面平面ABC，

AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在

的平分线上。

 

 

（1）求证：DE//平面ABC；

（2）求二面角E—BC—A的余弦值；

 

Answer 1

【答案】

解：方法一：（1）由题意知， 都是边长为2的等边三角形，

取AC中点O，连接BO，DO，

 

 

则

平面ACD平面ABC

平面ABC，作EF平面ABC，

那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，

，易求得

所以四边形DEFO是平行四边形，DE//OF；

平面ABC，平面ABC，

平面ABC…………6分

（2）作FGBC，垂足为G，连接FG；

平面ABC，根据三垂线定理可知，EGBC

就是二面角E—BC—A的平面角

即二面角E—BC—A的余弦值为…………12分

方法二：（1）同方法一

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

 

 

可求得平面ABC的一个法向量为，

平面BCE的一个法向量为

所以

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面

角E—BC—A的余弦值为；…12分

【解析】略