Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且向量

m

=（sinA，cosA），

n

=（cosC，sinC），且

m

•

n

=sin2B．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积是

3 3

4

，且a+c=5，求b．

Answer 1

（1）∵

m

•

n

=sinAcosC+cosAsinC=sin2B，且sin2B=2sinBcosB
∴sin（A+C）=2sinBcosB，即sin（π-B）=2sinBcosB，
∵sin（π-B）=sinB，且sinB是正数，∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

（2）由正弦定理，得S_△ABC=

1

2

acsinB=

3 3

4

∵B=

π

3

，得sinB=

3

2

，∴ac=3
又∵a+c=5，∴a²+c²=（a+c）²-2ac=25-6=19
根据余弦定理，得：
b²=a²+c²-2accosB=19-2×3×

1

2

=16
∴b=4（舍负）