题目内容
设两向量
，
满足|
|=2，|
|=1，
、
的夹角为60°，
（1）试求|3
+
|
（2）若向量2t
+7
与向量
+t
的夹角余弦值为非负值，求实数t的取值范围．
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
（1）试求|3
| e1 |
| e2 |
（2）若向量2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
分析：（1）利用向量的数量积公式，结合题意算出
•
=1．再由向量模的公式和数量积的运算性质加以计算，即可算出|3
+
|的值；
（2）根据题意，可得2t
+7
与
+t
的数量积大于或等于0，由此建立关于
2、
•
、
2和t的不等式，代入数据化简得到关于t的一元二次不等式，解之即可得出实数t的取值范围．
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
（2）根据题意，可得2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
解答：解：（1）由题意，可得
∵|
|=2，|
|=1，
、
的夹角为60°，
∴
•
=|
|•|
|cos60°=1．
因此，|3
+
|=
=
=
=
；
（2）∵向量2t
+7
与向量
+t
的夹角余弦值为非负值，
∴（2t
+7
）•（
+t
）≥0，
即2t
2+（7+2t2）
•
+7t
2≥0，
∵|
|=2，|
|=1，
•
=1，
∴不等式可化为2t×4+（7+2t2）×1+7t×1≥0，
化简得2t2+15t+7≥0，
解得t≤-7或t≥-
．
即满足条件的实数t的取值范围为：(-∞，-7]∪[-
，+∞)．
∵|
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
因此，|3
| e1 |
| e2 |
(3
|
9|
|
=
| 9×22+6×1+12 |
| 43 |
（2）∵向量2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴（2t
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
即2t
| e1 |
| e1 |
| e2 |
| e2 |
∵|
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴不等式可化为2t×4+（7+2t2）×1+7t×1≥0，
化简得2t2+15t+7≥0，
解得t≤-7或t≥-
| 1 |
| 2 |
即满足条件的实数t的取值范围为：(-∞，-7]∪[-
| 1 |
| 2 |
点评：本题给出向量
、
的模与夹角，求3
+
的模，并讨论2t
+7
与
+t
的夹角问题．着重考查了平面向量的数量积及其运算性质、向量模的公式和一元二次不等式的解法等知识，属于中档题．
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
练习册系列答案
相关题目
|=2，|
|=1，
|=2，|
|=1，
、
的夹角为60°，若向量2t
+7
与向量
+t
的夹角为钝角，求实数t的取值范围．