Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中底面边长和侧棱长均为a，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁B=a．

　　(1)求异面直线AC与BC₁所成角的余弦值；

　　(2)求证A₁B⊥面AB₁C．

Answer 1

答案：
解析：

如图甲所示，过点B作BO⊥AC，垂足为点O，则BO⊥侧面ACC1A1，连结A1O，在Rt△A1BO中，A1B=a，BO=a 　　∴　A1O=a，又AA1=a，AO= 　　∴　△A1AO为直角三角形，A1O⊥AC，A1O⊥底面ABC 　　解法一：(1)∵　A1C1∥AC 　　∴　∠BC1A1为异面直线AC与BC1所成的角 　　∵　A1O⊥面ABC，AC⊥BO 　　∴　AC⊥A1B 　　∴　A1C1⊥A1B 　　在Rt△A1BC1中，A1B=a，A1C1=a 　　∴　BC1=a 　　∴　cos∠BC1A1= 　　所以，异面直线AC与BC1所成角的余弦值为 　　(2)设A1B与AB1相交于点D 　　∵　ABB1A1为菱形 　　∴　AB1⊥A1B 　　又A1B⊥AC 　　AB1与AC是平面AB1C内两条相交直线 　　所以A1B⊥面AB1C 　　解法二：(1)如图乙所示，建立坐标系，原点为BO⊥AC的垂足O．由题设条件可得 　　B(a，0，0)，C1(0，a，a) 　　A(0，-a，0)，C(0，a，0) 　　∴　=(-a，a，a)， =(0，a，0) 　　如图 　　设与的夹角为q ，则 　　cosq = 　　所以，异面直线AC与BC1所成角的余弦值为 　　(2)A1(0，0，a)，B(a，0，0) 　　∴　 =(a，0，-a)， =(0，a，0)，· =0 　　∴　A1B⊥AC 　　又ABB1A1为菱形，∴　A1B⊥AB1 　　又因为AB1与AC为平面AB1C内两条相交直线 　　所以A1B⊥平面AB1C．