题目内容
21. 已知a>0，n为正整数.（Ⅰ）设y=（x－a）n，证明
=n（x－a）n－1；
（Ⅱ）设fn(x)＝xn－（x－a）n，对任意n≥a，证明
（n+1）>(n+1)
(n).
21.
证明：（Ⅰ）因为（x－a）n=(－a)n－kxk,
所以=
k
(－a)n－kxk－1＝
n
(－a)n－kxk－1=n(x－a)n－1.
（Ⅱ）对函数fn(x)=xn－(x－a)n求导数：
=nxn－1－n(x－a)n－1,
所以 
＝n［nn－1－ (n－a)n－1］.
当x≥a>0时，
＞0.
∴当x≥a时，
＝xn－（x－a）n是关于x的增函数.
因此，当n≥a时，（n+1）n－（n+1－a）n> n n－（n－a）n.
∴f
（n+1）=（n+1）［（n+1）
－（n+1－a）
］＞（n+1）（nn－（n－a）n）＞（n+1）
（nn－n（n－a）n－1）=（n+1）fn′（n），
即对任意n≥a，f
（n+1）＞（n+1）fn′（n）.
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