Question

已知常数a＞0，n为正整数，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ（x＞0）是关于x的函数．
（1）判定函数f_n（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）对任意n≥a，证明f′_n+1（n+1）＜（n+1）f_n′（n）

Answer 1

分析：（1）根据已知中函数的解析式，我们易求出函数的导函数的解析式，分析导函数的值，即可证明函数f_n（x）的单调性；
（2）根据（1）的结论，我们易得当x＞a＞0时，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ是关于x的减函数，且n≥a时，有：（n+1）ⁿ-（n+1+a）ⁿ＜nⁿ-（n+a）ⁿ，求出f′_n+1（n+1）后，用不等式的性质即可得到结论．

解答：解：（1）f_n（x）在（0，+∞）单调递减，理由如下：
f_n′（x）=nx^n-1-n（x+a）^n-1=n[x^n-1-（x+a）^n-1]，
∵a＞0，x＞0，
∴f_n′（x）＜0，
∴f_n（x）在（0，+∞）单调递减．（4分）
证明：（2）由上知：当x＞a＞0时，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ是关于x的减函数，
∴当n≥a时，有：（n+1）ⁿ-（n+1+a）ⁿ＜nⁿ-（n+a）ⁿ（2分）

又∴f′n+1(x)=(n+1)[xn-(x+a)n]， ∴f′n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1+a)n]＜(n+1)[nn-(n+a)n] =(n+1)[nn-(n+a)(n+a)n-1](2分)

（n+1）f′_n（n）=（n+1）n[n^n-1-（n+a）^n-1]=（n+1）[（nⁿ-n（n+a）^n-1]，（2分）
∵（n+2）＞n，
∴f′_n+1（n+1）＜（n+1）f′_n（n）（2分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中根据函数的解析式，求出导函数的解析式，是解答问题的关键．