Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=2，当n≥2时有 S_n=3S_n-1+2．
（1）求证{S_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）∵S_n=3S_n-1+2
∴S_n+1=3S_n-1+2+1
∴

Sn+1

Sn-1+1

=3…（4分）
又∵S₁+1=a₁+1=3
∴数列{S_n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列．…（6分）
（2）由（1）得∴Sn+1=3×3n-1=3n，
∴Sn=3n-1…（8分）
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2•3n-1…（10分）
又当n=1时，a₁=2也满足上式，…（12分）
所以，数列{a_n}的通项公式为：an=2•3n-1…（14分）