Question

定义在R上的单调函数满足且对任意都有．
(1)求证为奇函数；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

(1)证明：利用“赋值法”，确定f(0)=0，再
计算f(x)+f(-x)=0．
(2) t=3＞0，换元后，问题等价于t-(1+k)t+2＞0
假设，当时，对任意恒成立．

解析试题分析：
思路分析：(1)证明：利用“赋值法”，确定f(0)=0，再
计算f(x)+f(-x)=0．
(2) t=3＞0，换元后，问题等价于t-(1+k)t+2＞0
假设，应用二次函数的图象和性质进一步求解。
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)    (x，y∈R)， ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，
则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，
所以f(x)是奇函数．
(2)解：＞0，即f(3)＞f(0)，又在R上是单调函数，
所以在R上是增函数
又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，
∴ k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0
对任意t＞0恒成立．
令，其对称轴
当即时，符合题意；
当时，对任意，恒成立
解得
综上所述，当时，对任意恒成立．
考点：函数的单调性，指数函数的性质，二次函数的图象和性质。
点评：中档题，本题涉及抽象函数问题，一般要考虑应用“赋值法”，确定所需数据。本题通过换元，将问题转化成二次函数的图象和性质应用问题，具有“化生为熟”的示范作用。